Ecuaciones bicuadradas,producto igual a cero

                                                                                             

                                                                                                                                        28/01/2013

ECUACIONES BICUADRADAS

·         Si todas las potencias de x son pares

(ejemplo) ; 3x⁴ + 2x^{2 +} 7        

                    3x⁴ + 2x^{3 +} 2x^{2 +} 1 =  es Biocuadrada

1.       Se sustituye x² = z

( x⁴ = z², x⁶ = z³…)

2.       Se resuelve la nueva ecuación con incognita Z

Soluciones: Z= a, Z=b

3.       Para cada solución en Z, obtendremos “como mucho”

2 soluciones en X.

Z=a         x² =a           x= +

                                   x= -

Z=b        x² =b           x= +

                                  X= -

   Ejemplo.

Grado 4      x⁴-5x²+4=0

                    Como es bicuadrada , x² = z (4x=z²)

Grado 2      z²-5z+4=0                                                                

                                     

                                                                                                      

 Z=4

X²=4          x= +

                  x=

X²=1         x=

                 X=

X=2, X=-2, X=1, X=-1

 

PRODUCTO IGUAL A CERO

Son del tipo

(A)    (B) = 0         Con A y B expresiones algebraicas

 

Ejemplo.

( X² – 2X + 1 )  ( X – 3 ) = 0

-Si A = 0 tambien (A)

-Si B = 0 tambien (A)

 

Entonces:

(A)    (B) = 0

A=0                                       B=0

                Sol: a¹, a²…                                 sol: b¹ , b²…

                Ejemplo.

                ( x² -2x +1 )                           ( x-3 ) = 0

                X² -2x+1=0                                x-3=0

                  =sol: 1 , 1         sol: 3

                Soluciones: 1, 1, 3

                Ejercicio: resolver.

               

                Sol=1        sol=-3      sol=2        sol=+2,-2

                Soluciones: 1, -3, 2, 2, -2

·         Vimos que si una ecuación era un producto = 0, se``separaba´´ en varias ecuaciones.

(y se separaban las soluciones)

 

De forma muestra,si tenemos:

               P(x) = 0

Y conocemos sus soluciones (raíces de los polinomios) podemos ``separar´´ el polinomio en producto de polinomios mas pequeños FACTORIZAR UN POLINOMIO

 

·         Si p(x) tiene raíces a, a² , a³, …

entonces se puede escribir como

p(x) = c(x-a¹)     (x-a²)      (x-a³)

donde c es el coeficiente principal (nº que multiplica a la x de mayor grado)

 

Ejemplo. Si tenemos:
p(x) = 3x³ – 6x² - 3x + 6

Calculamos sus raíces (resolvemos p(x) = 0)

Raíces (sol) : 1, -1, 2

P(x) se puede escribir como

P(x) =