REPASO DE TRIÁNGULOS

Ruffini

Inicio Tema 10 - Probabilidad (13/5/13)

TEMA 10
PROBABILIDAD

- Combinatoria: Consiste en ''contar''
Ej: -Tenemos 6 camisetas, ¿cuántas posibilidades tenemos de elegir camiseta? SOL = 6
     - Si tenemos 6 camisetas y 3 pantalones, ¿Opciones?
1 - 1,2,3
2 - 1,2,3
3 - 1,2,3
4 - 1,2,3
5 - 1,2,3
6 - 1,2,3
6 · 3 = 18

Con 6 camisetas y 3 pantalones y 2 pares de zapatos, ¿Opciones?
6 · 3 · 2 = 36

¿Opciones de reconstruir ''Paco''?

 (A O C P) ----------- 4 · 3 · 2 · 1 
                 (no repite)
¿Y para reconstruir PAC?
3 · 2 · 1 = 6

¿Cuántos números de tres cifras se puede hacer con números impares sin que se pueda repetir?
(1 3 5 7 9) ---------- 5 · 4 · 3   =   60
    #5      (no repite)           #3

¿Cuántos números de tres cifras se puede hacer con números impares y que se pueda repetir?
(1 3 5 7 9) ----------- 5 · 5 · 5  =  125
     #5       (si repite)      #3

En una quiniela, ¿Cuántas posibilidades hay de jugadas (sin contar el ''pleno al 15'')?
(1 X 2) ----------- 3 · 3 · 3 · ... · 3
  #3       (si repite)      #14 (14 partidos en la quiniela)
3 · 14 = 4782969

En una clase de 10 personas de quieren hacer grupos de 2 personas, y no importa quien sale el 1º o el 2º-
(1 2 3 ... 10) -------------- 10 · 9  ---- : 2 ---- = 45
  #10             (sin repetir)      #2

Ejemplos de recorrido:

F(x) = x²

La imagen de cualquier numero es positiva.

Recorrido de f= [0,8)

G (x)=3

Recorridp de g (x)={3}

FUNCIONES PARES E IMPARES

Decimos que una función es par si en su expresión algebraica todas las potencias de x son pares (o cero: si hay números sumando)

Ejemplos:

F(x)=3x⁴+2x²

F(x) es función par

H(x)= 3x³+2x+1 no es ni par ni impar.

Propiedades:

Si f(x) es par, se cumple

F(-a)= f(a)

La potencia par de –a da positivo, igual que lo de a.

Ejemplo: f(x)=x²+1

F(-2)=(-2)2+1=4+1=5= f(2)

Si g(x) es impar, se cumple g(-a)=-g(a)

Ejemplo: g(x)=x³+x

G(2)=2³+2=8+2=10

G(2)=(-2)³+(-2)=-8-2=-10

En las graficas:

PAR: Como f(-a)=f(a)

SESIÓN DEL 22/4/13

Aplicaciones básicas

PROBLEMA

      Unos ladrones atracan un banco y escapan dirección este a las 11:00 horas, a una velocidad de 100 Km/h.
      Una hora más tarde sale e su persecución un coche policía a 125Km/h desde la comisaría que esta a 25Km del banco en dirección oeste. Si la ¨guarida´´ de los ladrones ( que es hacia donde escapan) está a 500Km del banco. ¿Llegarán antes de que sean alcanzados por la policía?.


                POLICÍA                                    LADRONES          Del enunciado 100Km/h;125Km/h

        Vp =  125                                            VL= 100
        Ep = x  625Km                                     EL = x-25   600Km      Variables x,y            
        Tp =  y   5h                                          TL=  y +1    6h


                  

                  
                  
                  125 =  x                           125y = x     

                            y
 
                 100=  x-25                         100y + 100 = x - 25
                          y+1
                

                     Sustituimos x=125y en la 2º ecuación: 

                              100y + 100 = 125y - 25 
                              100y - 125y = -100 - 25
                                         -25y = -125
                                        y=  -125   = +5            y= 5                              
                                              -25                       x= 625

                             Solución:llegan a la guarida.

 

                              

Ecuaciones bicuadradas,producto igual a cero

                                                                                             

                                                                                                                                        28/01/2013

ECUACIONES BICUADRADAS

·         Si todas las potencias de x son pares

(ejemplo) ; 3x⁴ + 2x^{2 +} 7        

                    3x⁴ + 2x^{3 +} 2x^{2 +} 1 =  es Biocuadrada

1.       Se sustituye x² = z

( x⁴ = z², x⁶ = z³…)

2.       Se resuelve la nueva ecuación con incognita Z

Soluciones: Z= a, Z=b

3.       Para cada solución en Z, obtendremos “como mucho”

2 soluciones en X.

Z=a         x² =a           x= +

                                   x= -

Z=b        x² =b           x= +

                                  X= -

   Ejemplo.

Grado 4      x⁴-5x²+4=0

                    Como es bicuadrada , x² = z (4x=z²)

Grado 2      z²-5z+4=0                                                                

                                     

                                                                                                      

 Z=4

X²=4          x= +

                  x=

X²=1         x=

                 X=

X=2, X=-2, X=1, X=-1

 

PRODUCTO IGUAL A CERO

Son del tipo

(A)    (B) = 0         Con A y B expresiones algebraicas

 

Ejemplo.

( X² – 2X + 1 )  ( X – 3 ) = 0

-Si A = 0 tambien (A)

-Si B = 0 tambien (A)

 

Entonces:

(A)    (B) = 0

A=0                                       B=0

                Sol: a¹, a²…                                 sol: b¹ , b²…

                Ejemplo.

                ( x² -2x +1 )                           ( x-3 ) = 0

                X² -2x+1=0                                x-3=0

                  =sol: 1 , 1         sol: 3

                Soluciones: 1, 1, 3

                Ejercicio: resolver.

               

                Sol=1        sol=-3      sol=2        sol=+2,-2

                Soluciones: 1, -3, 2, 2, -2

·         Vimos que si una ecuación era un producto = 0, se``separaba´´ en varias ecuaciones.

(y se separaban las soluciones)

 

De forma muestra,si tenemos:

               P(x) = 0

Y conocemos sus soluciones (raíces de los polinomios) podemos ``separar´´ el polinomio en producto de polinomios mas pequeños FACTORIZAR UN POLINOMIO

 

·         Si p(x) tiene raíces a, a² , a³, …

entonces se puede escribir como

p(x) = c(x-a¹)     (x-a²)      (x-a³)

donde c es el coeficiente principal (nº que multiplica a la x de mayor grado)

 

Ejemplo. Si tenemos:
p(x) = 3x³ – 6x² - 3x + 6

Calculamos sus raíces (resolvemos p(x) = 0)

Raíces (sol) : 1, -1, 2

P(x) se puede escribir como

P(x) =